Logo

Manusia mulai mengenal bilangan dari perhitungan benda-benda. Karena itu, muncul bilangan natural (asli) yang dimulai dari 1, 2, 3, … dst. Bilangan digunakan terutama untuk menghitung kuantitas ataupun entitias yang memiliki perilaku kuantitas.
Sistem bilangan yang dibuat manusia semakin berkembang seiring dengan pengetahuannya.

• Bilangan cacah: {0, 1, 2, 3, …}
• Bilangan bulat: {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}
• Bilangan pecahan: seperti: -½, ¼ ½ -¼
• Bilangang rasional, terdiri dari bilangan bulat dan pecahan
  

Rasional
Misalnya saya mempunyai sebuah batang logam dengan panjang 1 meter. Jika logam tersebut dipatahkan di satu titik atau beberapa titik, tentu akan terpotong dengan panjang tertentu menjadi beberapa bagian.

• Jika dipotong menjadi dua sama besar, setiap potongan ½ meter.
• Jika dipotong menjadi tujuh titik sama besar, setiap potongan 1/7 meter.
• Jika dipotong menjadi 7497891 sama besar, setiap potongan bernilai 1/7497891.
  Demikian seterusnya sehingga jika dipotong sebegitu banyaknya, kita akan mendapatkan potongan yang begitu kecilnya.
  

Inilah yang menjadi dasar pemikiran Pythagoras yang menyatakan bahwa dalam satu rentang jarak, pasti ada nilai yang begitu kecilnya yang dapat menyatakan dengan tepat berapa jarak tersebut. Karena itulah, kuantitias pengukuran, dalam hal ini adalah jarak, diukur dengan bilangan. Rasional bukan?

Irrasional
Sesuatu yang real, terkadang tidak harus rasional. Dalam Matematika istilah rasional berhubungan dengan rasio (ratio), yaitu perbandingan satu nilai dengan nilai lainnya. Rasio inilah yang membentuk persepsi berkaitan dengan kuantitas.
Mari kita berpetualang dengan sesuatu yang real namun irrasional. Misalnya saya mempunyai batang logam sepanjang dua meter. Logam tersebut dipotong pada satu titik dengan panjang tepat √2 m dari salah satu ujung logam. Pertanyaannya, berapa meterkah panjang patahan logam tersebut?
Mungkin Anda menganggap saya mengada-ada. Bagaimana caranya kita menentukan titik yang memiliki panjang tepat √2? Mudah saja, gunakan rumus segitiga siku-siku untuk mengukur panjang √2.


Jelas meskipun nilainya tidak rasional, panjang dengan nilai √2 benar-benar ada, yaitu di terletak antara 1 dan 2. Sampai sekarang, √2 masih tidak dapat dihitung tepat nilanya dengan tepat (uncountable). Baik itu diwujudkan dalam bilangan desimal maupun dalam bilangan pecahan.
Angka 1,414213562 merupakan bilangan yang cukup mendekati. Jika terus dihitung, nilai desimal di sebelah kanan akan muncul terus-menerus tanpa pola.
Lebih jauh lagi, nilai √2 tersebut benar-benar tidak akan pernah dapat ditampilkan dalam bilangan pecahan sekalipun karena akan muncul kontradiksi. Agar jelas, mari dibuktikan berdasarkan panjang segitiga sama siku-siku sama kaki.


Jika b dapat ditampilkan dalam bilangan pecahan, maka b dapat juga dibagi dengan a. Misanya kita membandingkan antara nilai b:a dari segitiga di atas dalam bentuk terkecilnya. Menurut teorema Pythagoras, maka:
b2 pasti bilangan genap karena dihasilkan dari perkalian dengan 2.
b pasti bilangan genap karena b2 sendiri genap. Ingat, akar dari bilangan ganjil pasti ganjil, dan sebaliknya.
Dalam bentuk terkecil, nilai a dalam b:a adalah ganjil. Ini terjadi karena b adalah genap dan b>a. Jadi, a bernilai GANJIL.
Karena b adalah genap, maka dapat diekspresikan sebagai perkalian dengan dua, misalnya b=2x.
Jadi
Dengan kata lain a2 adalah genap sehingga a juga bilangan GENAP.
Disinilah muncul kontradiksi karena a disimpulkan bernilai GENAP sekaligus GANJIL.
Kontradiksi yang dapat muncul berkaitan dengan penggunaan bilangan dan geometri tersebut telah dipaparkan oleh Hippasus, ahli matematika Yunani kuno abad 5 SM. Akibat penemuannya yang bertentangan dengan filosofi Pythagoras, Hippasus yang juga murid Pythagoras tersebut dianggap penganut ajaran sesat. Meskipun Pythagoras sendiri tidak dapat menemukan kesalahan dari reductio ad absurdum (pembuktian melalui kontradiksi) yang dikemukakan Hipassus, Hipassus akhirnya dihukum mati dengan cara ditenggelamkan.